Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/36

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aux déterminants formés avec quatre des quantités i et les quan- tités correspondantes. Je continue, bien entendu, à supposer que F, et F2 sont homo- gènes et linéaires par rapport aux produits dxidx On pourra donc déduire de l'expression (12) un invariant inté- gral du quatrième ordre. Il est à remarquer que cet invariant ne devient pas identique- ment nul quand on suppose Fi= F2. L'expression (12), divisée par 2, se réduit alors à D'un invariant du deuxième 'ordre on peut donc toujours en déduire un du quatrième ordre; par le même procédé, on en obtiendrait un du sixième ordre; et, plus généralement, on en obtiendrait un d'ordre 2p(2p étant un nombre pair quelconque). 248. Soit, en général, F1, F2, deux invariants quelconques des équations (1), le premier d'ordre p, le second d'ordre q. Je suppose que F, et F2 soient des fonctions linéaires et homo- gènes, la première par rapport aux produits de p différentielles dx, la seconde par rapport aux produits de q différentielles. Soient p + q solutions des équations (2). Ces solutions satisferont au système d'équations différentielles Soit alors F'1 ce que devient F1 quand on y remplace chaque produit de p différentielles par le déterminant correspondant formé à l'aide des p solutions