Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/37

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Soit de même ce que devient F2 quand on y remplace chaque produit de q différentielles par le déterminant correspondant formé à l'aide des q solutions Alors le produit sera une intégrale du système (i3). Cela posé, faisons subir aux p + q lettres une permutation quelconque. Le produit F, F; deviendra et ce sera encore là une intégrale du système (i3). Nous affecterons ce produit du signe +, si la permutation con- sidérée appartient au groupe alterné, c'est-à -dire si elle se ramène à un nombre pair de permutations entre deux lettres. Nous affecterons, au contraire, le produit du signe —, si la per- mutation n'appartient pas au groupe alterné, c'est-à -dire si elle se ramène à un nombre impair de permutations entre deux lettres. Dans tous les cas, l'expression sera une intégrale du système (i3). Nous avons (p + q) !. permutations possibles ; nous obtiendrons donc ( p + q) ! expressions analogues à (14 ). Mais il n'y en aura que qui seront distinctes; car l'expression (14) ne change pas quand on permute seulement entre elles les p lettres qui entrent dans F': et entre elles, d'autre part, les q lettres qui entrent dans ~F;. Faisons maintenant la somme de toutes les expressions (14). Nous aurons encore une intégrale de système (i3). Mais cette intégrale sera linéaire et homogène par rapport aux déterminants d'ordre p + q que l'on peut former avec les lettres