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PROPRIÉTÉS DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.

port au système d’axes mobiles envisagés, décrivent des courbes fermées entourant Jupiter, mais n’entourant pas le Soleil.

Pour C=40 (C est la constante de Jacobi), on n’a qu’un satellite $\mathrm {A}$ qui est stable. Pour C=39,5, le satellite $\mathrm {A}$ est devenu instable avec un exposant $\alpha$ réel ; mais nous avons deux satellites nouveaux $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C} ,$ le second stable, le premier instable avec un exposant $\alpha$ réel. Pour C=39, on retrouve le même résultat ; pour C=38,5, le satellite $\mathrm {C}$ est devenu instable avec un exposant $\alpha$ complexe ${\Big (}$dont la partie imaginaire est ${\frac {i\pi }{\mathrm {T} }}{\Big )}\,;$ enfin, pour C=38, on retrouve le même résultat.

Nous avons donc à envisager trois passages :

1^o Le passage du satellite $\mathrm {A}$ de la stabilité à l’instabilité ;

2^o L’apparition des satellites $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ ;

3^o Le passage du satellite $\mathrm {C}$ de la stabilité à l’instabilité.

Les deux derniers passages ne soulèvent aucune difficulté.

Nous voyons apparaître simultanément deux solutions périodiques $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ d’abord très peu différentes l’une de l’autre ; l’une est stable et l’autre instable ; l’exposant $\alpha$ pour la solution instable est réel. Tout cela est conforme aux conclusions du n^o 378.

Le passage de la stabilité à l’instabilité du satellite $\mathrm {C}$ ne soulève pas non plus de difficulté ; car l’exposant $\alpha$ dans le cas de l’instabilité est complexe ; on se trouve donc dans les conditions du n^o 380. Il existe donc des solutions périodiques du deuxième genre, correspondant à des courbes fermées faisant deux fois le tour de Jupiter.

382.En revanche, le passage du satellite $\mathrm {A}$ de la stabilité à l’instabilité présente de grandes difficultés puisque dans le cas de l’instabilité, l’exposant $\alpha$ est réel. Il devrait donc y avoir, d’après le n^o 378, échange de stabilité, avec d’autres solutions périodiques correspondant à des courbes fermées faisant une seule fois le tour de Jupiter. C’est ce qui ne parait pas résulter des calculs de Darwin.

On est naturellement conduit à penser que les satellites $\mathrm {A}$ instables découverts par Darwin ne sont pas la continuation analytique de ses satellites $\mathrm {A}$ stables.

D’autres considérations conduisent au même résultat.