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PROPRIÉTÉS DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.
Les équations canoniques admettent l’intégrale
d’où
Avec l’approximation adoptée, nous pouvons remplacer par
en désignant par ce que deviennent
quand on y remplace par
Ainsi
désignent des constantes dépendant de et nous avons
Regardons comme une constante ; comme
les coordonnées rectangulaires d’un point dans un plan et construisons
la courbe
désignant une seconde constante.
Cette courbe dépend ainsi des deux constantes et Si elle
présente un point double, ce point- double correspondra à une
solution périodique, qui sera stable si les deux tangentes au
point double sont imaginaires, et instable si les deux tangentes
sont réelles.
Observons que la courbe est symétrique par rapport aux deux
axes de coordonnées et que deux points doubles symétriques l’un
de l’autre par rapport à l’origine ne correspondent pas à deux
solutions périodiques véritablement distinctes.
Les points doubles ne peuvent se trouver que sur l’un des axes
de coordonnées, de telle sorte qu’on les trouvera tous en faisant
Si l’on fait