356
CHAPITRE XXXI.
On voit que le passage a dû se faire environ pour
170°,
et ce nombre est voisin de 180°.
Le moyen mouvement de la planète
est donc à peu près
trois fois celui de Jupiter.
On pourrait songer à appliquer à l’étude de ces solutions de la
deuxième sorte les principes du Chapitre XXX ; mais on rencontrerait
des difficultés parce qu’on se trouve dans un cas d’exception.
Il vaut mieux reprendre cette étude directement.
384.Reprenons les notations du no 313 et posons, comme dans
ce numéro
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\mathrm {L} -\mathrm {G} ,&x_{2}&=\mathrm {L} +\mathrm {G} ,\\2y_{1}&=l-g+t,&2y_{2}&=l+g-t,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2144224062069f9676369d67cb65e9cca3cc1599)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} '&=\mathrm {R} +\mathrm {G} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\ldots ,\\\mathrm {F} _{0}&={\frac {2}{(x_{1}+x_{2})^{2}}}+{\frac {x_{2}-x_{1}}{2}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db233bd23f936617b33155de724e4478765abd74)
La quantité
doit être de même signe que
(Cf. p. 200, in fine)
et l’excentricité très petite ; comme
est de l’ordre du carré de
l’excentricité, cette variable sera également très petite.
Comme il ne s’agit que de déterminer le nombre des solutions
périodiques et leur stabilité, nous pouvons nous contenter d’une
approximation.
Nous négligerons donc
et les termes suivants. Dans le
terme
nous ne tiendrons compte que des termes séculaires et
des termes à très longue période et nous négligerons, en outre,
les puissances supérieures de
Nous aurons ainsi
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}=a+bx_{1}+cx_{1}\cos \omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6045c1287952adc2779c57ef9af16cc6d72bc6f8)
où
sont des fonctions de
seulement et où
est
le terme à très longue période conservé.
Les termes à très longue période sont les termes en
c’est-à-dire les termes en
nous avons donc
![{\displaystyle \omega =4y_{2}-2y_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd15bf71ff70876805d5f4729c6f495ce47e91e)
Il vient alors
![{\displaystyle \mathrm {F} '={\frac {2}{(x_{1}+x_{2})^{2}}}+{\frac {x_{2}-x_{1}}{2}}+\mu (a+bx_{1}+cx_{1}\cos \omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/159701afb6d6b9424abc735663ed90bd17f03013)
et nous pouvons appliquer la méthode de Delaunay.