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CHAPITRE XXXI.

la courbe $\mathrm {F} '=\mathrm {C}$ passe par l’origine et y présente un point double. Les tangentes au point double sont données par l’équation

${\frac {4}{k^{3}}}-{\frac {3}{2}}+\mu \beta +\mu \gamma \cos \omega =0.$

Si donc

(1)

${\frac {4}{k^{3}}}-{\frac {3}{2}}+\mu \beta >\mu \gamma$

les tangentes sont imaginaires. Si

(2)

$\mu \gamma >{\frac {4}{k^{3}}}-{\frac {3}{2}}+\mu \beta >-\mu \gamma ,$

les tangentes sont réelles. Si enfin

(3)

$-\mu \gamma >{\frac {4}{k^{3}}}-{\frac {3}{2}}+\mu \beta ,$

les tangentes sont de nouveau imaginaires.

Le coefficient $\beta$ est positif ; j’ai écrit les inégalités précédentes en supposant aussi $\gamma$ positif. Si $\gamma$ était négatif, on n’aurait d’ailleurs qu’à changer $\omega$ en $\omega +\pi .$

Le point double à l’origine correspond à la solution de la première sorte, c’est-à-dire à la planète $\mathrm {A}$ de M. Darwin. On voit que cette solution est stable quand les inégalités (1) ou (3) ont lieu et instable quand les inégalités (2) ont lieu.

Étudions maintenant les points doubles qui peuvent se trouver sur la droite $\omega =0.$

Si l’on fait $\omega =0,$ la fonction $\mathrm {F} '$ devient

(4)

$\mathrm {F} '={\frac {2}{(k-x_{1})^{2}}}+{\frac {k}{2}}-{\frac {3x_{1}}{2}}+\mu \alpha +\mu x_{1}(\beta +\gamma )=\mathrm {C} .$

Si, laissant $k$ constant, on fait varier $x_{1}$ depuis $0$ jusqu’à $k,$ on voit que les maxima et minima de $\mathrm {F} '$ sont donnés par l’équation

(5)

${\frac {4}{(k-x_{1})^{3}}}-{\frac {3}{2}}+\mu (\beta +\gamma )=0,$

laquelle admet une solution si l’inégalité (3) a lieu et n’en admet pas dans le cas contraire.

Si donc l’inégalité (3) n’a pas lieu, la fonction $\mathrm {F} '$ est constamment décroissante si elle a lieu ; la fonction $\mathrm {F} '$ d’abord croissante atteint un maximum et décroît ensuite.