On pourra donc en déduire un invariant d’ordre des équations (1).
Si et que soit identique avec l’invariant ainsi obtenu sera identiquement nul si est impair ; mais il n’en sera plus de même si est pair ainsi que je l’ai expliqué à la fin du numéro précédent.
Autres relations entre les invariants et les intégrales.
249.Voyons maintenant comment, de la connaissance d’un certain nombre d’invariants, on peut déduire celle d’une ou plusieurs intégrales.
Je suppose d’abord que l’on connaisse deux invariants du ième ordre
où et sont des fonctions des je dis que le rapport sera une intégrale des équations (1).
En effet, considérons les équations aux variations (2) et soient
solutions quelconques linéairement indépendantes de ces équations.
Ces solutions satisferont à un système d’équations différentielles, analogue aux systèmes (6) et (7), que j’appellerai le système
Soit le déterminant formé à l’aide des lettres Alors
seront des intégrales du système il en sera donc de même du rapport
et comme ce rapport ne dépend que des et pas des il devra être une intégrale des équations (1).