Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/38

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On pourra donc en déduire un invariant d'ordre p + q des équations (i). Si p = q et que F, soit identique avec F2, l'invariant ainsi obtenu sera identiquement nul si p est impair; mais il n'en sera plus de même si p est pair ainsi que je l'ai expliqué à la fin du numéro précédent. Autres relations entre les invariants et les intégrales. 249. Voyons maintenant comment, de la connaissance d'un cer- tain nombre d'invariants, on peut déduire celle d'une ou plusieurs intégrales. Je suppose d'abord que l'on connaisse deux invariants du nième ordre M dx1 dx2 ... dxn, el /M dx1 dx, ... dxn, où M et M' sont des fonctions des x; je dis que le rapport M' sera une intégrale des équations (i). En effet, considérons les équations aux variations (2) et soient n solutions quelconques linéairement indépendantes de ces équa- tions. Ces n solutions satisferont à un système d'équations différen- tielles, analogue aux systèmes (6) et (7), que j'appellerai le sys- tème S. Soit A le déterminant formé à l'aide des n2 lettres ~^A>. Alors MA et M'A seront des intégrales du système S ; il en sera donc de même du rapport et comme ce rapport ne dépend que des x et pas des E, il devra être une intégrale des équations (1).