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CHAPITRE XXXI.

nous verrons que, pour $\mathrm {C} >\mathrm {C} _{0},$ il n’y aura pas de point double sur la droite $\omega =0$ et que, pour $\mathrm {C} <\mathrm {C} _{0},$ il y en aura deux.

La même discussion est applicable au cas des points doubles situés sur la droite $\omega =\pi .$ Les valeurs de $x_{1}$ seront données par l’équation

(5 bis)

${\frac {4}{(k-x_{1})^{3}}}-{\frac {3}{2}}+\mu (\beta -\gamma )=0,$

laquelle admet une solution si les inégalités (2) ou (3) ont lieu.

Si alors $\mathrm {C} _{1}$ est la valeur de $\mathrm {C}$ qui satisfait à la double égalité

${\begin{aligned}\mathrm {C} _{1}&={\frac {2}{k^{2}}}+{\frac {k}{2}}+\mu \alpha ,\\{\frac {4}{k^{3}}}-&{\frac {3}{2}}+\mu (\beta -\gamma )=0,\end{aligned}}$

la condition pour qu’il existe deux points doubles sur la droite

$\omega =\pi ,$

c’est que $\mathrm {C} <\mathrm {C} _{1}.$

Nous remarquerons que $\mathrm {C} _{1}>\mathrm {C} _{0}\,;$ que $\mathrm {C} _{0}$ est la valeur de $\mathrm {C}$ pour laquelle on passe de l’inégalité (2) à l’inégalité (3) et que $\mathrm {C} _{1}$ est celle pour laquelle on passe de l’inégalité (1) à l’inégalité (2).

D’ailleurs en construisant les courbes, on reconnaît aisément que pour les points doubles situés sur $\omega =0$ les tangentes sont réelles et que, pour les points doubles situés sur $\omega =\pi ,$ elles sont imaginaires.

Nous pouvons donc résumer nos résultats comme il suit :

Premier cas

$\mathrm {C} >\mathrm {C} _{1}.$

L’inégalité (1) a lieu.

La solution de la première sorte (planète $\mathrm {A}$) est stable.

Il n’y a pas de solution de la deuxième sorte (orbite à point double).

Deuxième cas

$\mathrm {C} _{1}>\mathrm {C} >\mathrm {C} _{0}.$

Les inégalités (2) ont lieu.

La solution de la première sorte est devenue instable. Il y a une solution de la deuxième sorte qui est stable.