nous verrons que, pour il n’y aura pas de point double sur la droite et que, pour il y en aura deux.
La même discussion est applicable au cas des points doubles situés sur la droite Les valeurs de seront données par l’équation
(5 bis) |
laquelle admet une solution si les inégalités (2) ou (3) ont lieu.
Si alors est la valeur de qui satisfait à la double égalité
la condition pour qu’il existe deux points doubles sur la droite
c’est que
Nous remarquerons que que est la valeur de pour laquelle on passe de l’inégalité (2) à l’inégalité (3) et que est celle pour laquelle on passe de l’inégalité (1) à l’inégalité (2).
D’ailleurs en construisant les courbes, on reconnaît aisément que pour les points doubles situés sur les tangentes sont réelles et que, pour les points doubles situés sur elles sont imaginaires.
Nous pouvons donc résumer nos résultats comme il suit :
Premier cas
L’inégalité (1) a lieu.
La solution de la première sorte (planète ) est stable.
Il n’y a pas de solution de la deuxième sorte (orbite à point double).
Deuxième cas
Les inégalités (2) ont lieu.
La solution de la première sorte est devenue instable. Il y a une solution de la deuxième sorte qui est stable.