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CHAPITRE XXXII.

et $\mathrm {E} _{1}.$ Nous nous donnons, comme dans le numéro précédent, les constantes des forces vives et des aires qui doivent être les mêmes pour tous les intervalles et il s’agit de construire $\mathrm {E}$ et $\mathrm {E} _{1}.$

Supposons que, pendant l’intervalle envisagé, la planète $\mathrm {P}$ ait fait $m$, et que la planète $\mathrm {P} _{1}$ ait fait $m_{1}$ révolutions complètes ; nous pourrons nous donner arbitrairement les deux entiers $m$ et $m_{1}.$ Connaissant ces deux entiers nous connaîtrons le rapport des grands axes, et comme nous connaissons, d’autre part, la constante des forces vives, nous connaîtrons les grands axes eux-mêmes.

Nous connaissons, d’autre part, les constantes des aires et, par conséquent, le vecteur qui représente la vitesse aréolaire du système. Ce vecteur peut être décomposé d’une infinité de manières en deux vecteurs composants représentant les vitesses aréolaires de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P} _{1}.$ Nous nous donnerons arbitrairement cette décomposition. Connaissant ces deux vecteurs composants nous connaîtrons les plans des deux ellipses et leurs paramètres. Il reste à connaître l’orientation de chacune des ellipses dans son plan ; nous la déterminerons de façon à faire passer l’ellipse par le point $\mathrm {Q} .$

En résumé nous avons pu choisir arbitrairement :

1^o Le point $\mathrm {Q}$ et le nombre des intervalles ;

2^o Pour tous les intervalles, la constante des forces vives et celle des aires ;

3^o Pour chaque intervalle, les entiers $m$ et $m_{1}$ et la décomposition du vecteur aréolaire.

Pour que le problème soit possible, ces arbitraires doivent cependant satisfaire à certaines inégalités que je n’écrirai pas.

390.Laissons de côté ces cas exceptionnels, où tous les chocs ont lieu sur une même droite ou en un même point, et passons au cas du mouvement plan. Soient $\mathrm {Q} _{1},$ $\mathrm {Q} _{2},\,\ldots ,$ les points où se font les chocs successifs ; nous nous donnerons arbitrairement la constante des forces vives et celle des aires qui devront être les mêmes pour tous les intervalles.

Considérons l’un des intervalles, par exemple celui où les deux planètes vont de $\mathrm {Q} _{1}$ en $\mathrm {Q} _{2}.$ Nous nous donnerons arbitrairement les grandeurs des deux rayons vecteurs $\mathrm {FQ} _{1}$ et $\mathrm {FQ} _{2},$ mais non pas l’angle de ces deux rayons vecteurs, ni la durée de l’intervalle.