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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE DEUXIÈME ESPÈCE.

Nous savons que dans cet intervalle, la différence de longitude des deux planètes a augmenté de $2m\pi .$ Nous nous donnerons arbitrairement l’entier $m.$

Connaissant cet entier, les deux longueurs $\mathrm {FQ} _{1}$ et $\mathrm {FQ} _{2},$ les deux constantes des forces vives et des aires, nous avons tout ce qu’il faut pour déterminer les orbites $\mathrm {E}$ et $\mathrm {E} _{1}.$ Cela revient à appliquer le principe de Maupertuis, mais en définissant l’action hamiltonienne comme au n^o 339 et en en déduisant l’action maupertuisienne par le procédé des n^os 336 et 337. Malheureusement cette action maupertuisienne n’étant pas toujours positive, on n’est pas certain qu’elle ait toujours un minimum.

En résumé nous pouvons choisir arbitrairement :

1^o Le nombre des intervalles et les longueurs $\mathrm {FQ} _{1},\,\mathrm {FQ} _{2},\,\ldots$

2^o Les constantes des aires et des forces vives ;

3^o Pour chaque intervalle, l’entier $m.$

Les orbites à chocs ainsi obtenues sont toutes planes ; parmi les orbites périodiques de deuxième espèce qui se réduisent à ces orbites à chocs pour $\mu =0,$ il y en a certainement qui sont planes ; il est possible également qu’il y en ait qui ne soient pas planes pour $\mu >0$ et ne le deviennent qu’à la limite.

391.Voyons maintenant comment on peut démontrer l’existence des solutions périodiques de deuxième espèce qui se réduisent à la limite aux orbites à chocs que nous venons de construire.

Considérons l’une des orbites à chocs et soit $t_{0}$ un instant antérieur au premier choc et $t_{1}$ un instant compris entre le premier et le second choc. Soit de même $t_{2}$ un instant compris entre le second et le troisième choc. Je suppose pour fixer les idées qu’il y ait trois chocs et j’appelle $\mathrm {T}$ la période de telle façon qu’à l’instant $t_{0}+\mathrm {T}$ les trois corps se trouvent dans la même situation relative qu’à l’instant $t_{0}.$

Je prends pour variables les grands axes, les inclinaisons et les excentricités, et les différences des longitudes moyennes, des longitudes des périhélies et des nœuds ; soit en tout onze variables, de telle façon que l’orbite soit regardée comme périodique si les trois corps se retrouvent dans la même situation relative à la fin de la période.

Soient $x_{1}^{0},\,x_{2}^{0},\,\ldots ,\,x_{11}^{0}$ les valeurs de ces variables à l’instant $t_{0}$