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SOLUTIONS DOUBLEMENT ASYMPTOTIQUES.
prenne assez grand pour que la valeur correspondante de soit
plus grande que
La valeur qu’il faut attribuer à dépend évidemment de et
elle croît indéfiniment quand tend vers zéro.
Voici en général les valeurs de pour lesquelles nos équations
peuvent servir de première approximation :
Si les surfaces et par exemple se coupent, l’intersection
correspondra à une solution doublement asymptotique hétérocline
qui pour sera très voisine de la solution périodique (5)
et pour très voisine de la solution
périodique (6).
Pour rechercher cette intersection, rapprochons les équations
de et
l’intersection nous sera évidemment donnée par
(9)
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est une fonction de et de développable suivant
les puissances entières positives et négatives de
Ce qui nous importe c’est que c’est une fonction périodique
de elle admet donc au moins un maximum et un minimum ;
l’équation (9) admet donc au moins deux solutions, ce qui revient
à dire qu’il y a au moins deux solutions hétéroclines.
On démontrerait de même qu’il y a deux solutions correspondant
aux intersections des surfaces et deux correspondant
aux surfaces et et deux aux surfaces et
L’analyse précédente ne donne pas les solutions homoclines.
404. Prenons par exemple