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CHAPITRE XXXIII.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Passons donc à l’approximation suivante et prenons

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\varepsilon \,\mathrm {S} _{1}.$

Pour achever de définir $\mathrm {S} _{1},$ il faut choisir les constantes $\mathrm {C} _{m}.$

Pour les nappes $\mathrm {N} _{1}$ et $\mathrm {N} _{1}',$ nous devons choisir ces constantes de telle sorte que les fonctions $\psi _{m}$ se comportent régulièrement pour $q=q',$ $y=y_{0}\,;$ il suffit de se reporter à l’analyse de la page 466, tome II, pour comprendre que cette condition suffit pour déterminer complètement ces constantes. J’appellerai $\mathrm {S} _{1.1}$ la fonction $\mathrm {S} _{1}$ ainsi déterminée.

Pour les nappes $\mathrm {N} _{2}$ et $\mathrm {N} _{2}'$ nous choisirons les $\mathrm {C} _{m}$ de telle sorte que les $\psi _{m}$ soient régulières pour $q=q'',$ $y=y_{0},$ et nous appellerons $\mathrm {S} _{1.2}$ la fonction $\mathrm {S} _{1}$ ainsi déterminée.

Pour les nappes $\mathrm {N} _{3}$ et $\mathrm {N} _{3}'$ nous choisirons les $\mathrm {C} _{m}$ de telle sorte que les $\psi _{m}$ soient régulières pour $q=q'',$ $y=y_{1}\,;$ pour les nappes $\mathrm {N} _{4}$ et $\mathrm {N} _{4}'$ les $\psi _{m}$ devront être régulières pour $q=q',$ $y=y_{1}.$ Nous désignerons par $\mathrm {S} _{1.3}$ et $\mathrm {S} _{1.4}$ les deux fonctions $\mathrm {S} _{1}$ ainsi déterminées.

Les équations de nos quatre surfaces deviennent ainsi

(8)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {N} _{1}+\mathrm {N} _{1}'\,;&&p&=p_{0}+\varepsilon {\frac {d\mathrm {S} _{1.1}}{dx}}\,;&q&=q'+\varepsilon {\frac {d\mathrm {S} _{1.1}}{dy}}\,;\\\mathrm {N} _{2}+\mathrm {N} _{2}'\,;&&p&=p_{0}+\varepsilon {\frac {d\mathrm {S} _{1.2}}{dx}}\,;&q&=q''+\varepsilon {\frac {d\mathrm {S} _{1.2}}{dy}}\,;\\\mathrm {N} _{3}+\mathrm {N} _{3}'\,;&&p&=p_{0}+\varepsilon {\frac {d\mathrm {S} _{1.3}}{dx}}\,;&q&=q''+\varepsilon {\frac {d\mathrm {S} _{1.3}}{dy}}\,;\\\mathrm {N} _{4}+\mathrm {N} _{4}'\,;&&p&=p_{0}+\varepsilon {\frac {d\mathrm {S} _{1.4}}{dx}}\,;&q&=q'+\varepsilon {\frac {d\mathrm {S} _{1.4}}{dy}}\cdot \end{aligned}}\right.$

Mais il importe d’observer que la fonction $\mathrm {S} _{1.1},$ par exemple, qui se comporte régulièrement pour $y=y_{0},$ se comporte d’une façon irrégulière pour $y=y_{1}\,;$ il en résulte que nos équations cessent d’être valables, même comme première approximation, dès qu’on dépasse la valeur $y_{1}.$

Pour le faire mieux comprendre, je me bornerai à la remarque suivante.

Soient $y'$ et $y''$ deux valeurs de $y$ telles que

$y_{0}<y'<y_{1}<y''.$

Soit $\mathrm {M} _{0}$ le point de notre courbe asymptotique qui correspond à la valeur $y'\,;$ soit $\mathrm {M} _{n}$ son $n$^ième conséquent ; et je suppose que l’on