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406

CHAPITRE XXXIII.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Je suppose ensuite que ($\rho$ étant une quantité positive très petite) on ait pour $r>\rho$

(1)

$\mathrm {F} _{1}=-{\frac {\eta _{1}^{2}+\eta _{2}^{2}}{2}}-{\frac {(r-1)^{2}}{2}}+\varepsilon \,{\frac {\psi (\omega )}{r^{2}}},$

où $\psi (\omega )$ est une fonction de $\omega ,$ régulière pour toutes les valeurs réelles de $\omega ,$ périodique de période $2\pi ,$ et enfin s’annulant avec sa dérivée pour $\omega =0$ et pour $\omega ={\frac {\pi }{2}}\cdot$

Comme la fonction (1) serait infinie pour $r=0,$ c’est-à-dire pour $\xi _{1}=\xi _{2}=1,$ je supposerai que, pour $\rho \leqq \rho ,$ la fonction $\mathrm {F} _{1}$ prend des valeurs quelconques, de façon toutefois qu’elle reste finie et continue ainsi que ses dérivées des deux premiers ordres.

Il est aisé de vérifier que pour $\mu =1,$ c’est-à-dire pour $\mathrm {F} =\mathrm {F} _{1},$ nos équations admettent encore les deux solutions périodiques $\sigma$ et $\sigma '\,;$ pour la première de ces solutions on a $\omega =0,$ pour la seconde $\omega ={\frac {\pi }{2}}\cdot$

On en conclut immédiatement que pour toutes les valeurs de $\mu ,$ nos équations admettront ces deux solutions périodiques.

406. Nous allons maintenant intégrer nos équations dans le cas de $\mu =1$ $($au moins en supposant que $r$ reste constamment $>\rho ).$

Si l’on supposait d’abord $\varepsilon =0,$ on retomberait sur le problème des forces centrales et l’intégration serait immédiate. Elle ne l’est guère moins dans le cas général.

La méthode de Jacobi conduit, en effet, à l’équation aux dérivées partielles

${\frac {1}{2}}\left({\frac {d\mathrm {S} }{dr}}\right)^{2}+{\frac {1}{2r^{2}}}\left({\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}\right)^{2}+{\frac {(r-1)^{2}}{2}}-\varepsilon \,{\frac {\psi (\omega )}{r^{2}}}=h,$

$h$ étant une constante. Posons

${\frac {1}{2}}\left({\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}\right)^{2}-\varepsilon \psi (\omega )=k,$

$k$ étant une seconde constante, et il viendra

$\mathrm {S} ={\sqrt {2}}\int {\sqrt {h-{\frac {k}{r^{2}}}-{\frac {(r-1)^{2}}{2}}}}\,dr+{\sqrt {2}}\int {\sqrt {k+\varepsilon \psi }}\,d\omega .$