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SOLUTIONS DOUBLEMENT ASYMPTOTIQUES.

La solution générale de nos équations est donc

${\begin{aligned}(\xi _{1}-1)\eta _{1}+(\xi _{2}-1)\eta _{2}&={\sqrt {2hr^{2}-2k-r^{2}(r-1)^{2}}},\\(\xi _{1}-1)\eta _{2}-(\xi _{2}-1)\eta _{1}&={\sqrt {2}}{\sqrt {k+\varepsilon \psi }}.\end{aligned}}$

(2)

$\int {\frac {r\,dr}{\sqrt {2hr^{2}-2k-r^{2}(r-1)^{2}}}}=h'+t,$

(3)

$\int _{0}^{\omega }{\frac {d\omega }{\sqrt {2k+2\varepsilon \psi }}}+\int {\frac {2\,dr}{r^{2}{\sqrt {2hr^{2}-2k-r^{2}(r-1)^{2}}}}}=k',$

$h'$ et $k'$ étant deux nouvelles constantes.

Nous trouverons nos deux solutions périodiques $\sigma$ et $\sigma '$ en donnant aux constantes les valeurs particulières

${\begin{aligned}k&=0,&h&={\frac {\alpha ^{2}}{2}},&k'{\sqrt {2k}}&=0,\\k&=0,&h&={\frac {\alpha ^{2}}{2}},&k'{\sqrt {2k}}&={\frac {\pi }{2}}\cdot \end{aligned}}$

Supposons que nous voulions nous servir de l’équation (2) pour définir $r$ en fonction de $h'+t\,;$ si nous donnons aux constantes $k$ et $h$ des valeurs voisines de zéro et ${\frac {\alpha ^{2}}{2}},$ $r$ sera alors une fonction périodique de $t+h'.$ Nous poserons

$u=n(t+h'),$

le nombre $n$ étant choisi de telle sorte que $r$ soit fonction périodique de $u$ de période $2\pi .$ Ce nombre $n,$ qui est une espèce de moyen mouvement, dépendra naturellement des constantes $h$ et $k.$

De même ${\frac {dr}{dt}}$ sera une fonction périodique de $u.$

Pour $k=0,$ on a simplement

$r=1\pm {\sqrt {2h}}\cos u.$

407. Nous avons donc deux solutions périodiques $\sigma$ et $\sigma '$ qui seront représentées par deux courbes fermées, si l’on convient de regarder les $\xi$ et les $\eta$ comme les coordonnées d’un point dans l’espace à quatre dimensions. Par chacune de ces courbes passent deux surfaces asymptotiques, l’une de la première, l’autre de la deuxième famille ; nous allons voir que les quatre surfaces se con-