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INVARIANTS INTÉGRAUX.

D’autre part, ces équations (2) admettront pour solution

$\xi _{i}=\varepsilon \,\mathrm {X} _{i},$

$\varepsilon$ étant une constante infiniment petite quelconque.

En effet, soit

$x_{i}=\varphi _{i}(t)$

une solution quelconque des équations (1) ; si $\varepsilon$ est une constante très petite,

$x_{i}=\varphi _{i}(t+\varepsilon )=\varphi _{i}(t)+\varepsilon \,{\frac {dx_{i}}{dt}}$

sera encore une solution des équations (1), et

$\xi _{i}=\varphi _{i}(t+\varepsilon )-\varphi _{i}(t)=\varepsilon \,{\frac {dx_{i}}{dt}}=\varepsilon \mathrm {X} _{i}$

sera une solution des équations (2).

Il résulte de là que

${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\xi _{i}=\varepsilon {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\mathrm {X} _{i}$

doit être une constante.

Donc ${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\mathrm {X} _{i}$ est une intégrale des équations (1).

Supposons maintenant que les équations (1) admettent un invariant intégral du second ordre

$\iint {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\,dx_{i}\,dx_{k}.$

Alors

${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\left(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'\right)$

sera une intégrale des équations (2) et des équations (2 bis) que l’on en déduit en changeant les $\xi _{i}$ en $\xi _{i}'.$

Faisons-y

$\xi _{i}'=\varepsilon \,\mathrm {X} _{i},$

$\varepsilon$ étant une constante. Cela est permis, car $\xi _{i}'=\varepsilon \mathrm {X} _{i}$ est une solution de (2 bis).

Alors

${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\left(\xi _{i}\mathrm {X} _{k}-\mathrm {X} _{i}\xi _{k}\right)$

sera une intégrale de (2) ; ce qui montre que

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\left(\mathrm {X} _{k}\,dx_{i}-\mathrm {X} _{i}\,dx_{k}\right)$

est un invariant intégral du premier ordre des équations (1).