Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/49

La bibliothèque libre.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Cette page n’a pas encore été corrigée


où Cf n'est autre chose que C où les i ont été remplacés par dx est un invariant intégral des équations (i). Voilà donc un moyen de former un grand nombre d'invarian ts intégraux; le cas particulier où p est nul (c'est-à -dire Je cas des invariants ou covariants dits absolus) mérite d'attirer l'attention; si C, par exemple, est un covariant absolu de , sera un invariant intégral des équations (i). On peut donc former un nouvel invariant intégral sans connaître le dernier multiplica- teur M. Le même procédé s'applique aux invariants intégraux d'ordre supérieur. Soit, par exemple, un invariant intégral du second ordre f2 A ikdxidxk. A cet invariant intégral se rattache la forme bilinéaire qui est une intégrale des équations (2) et (2 bis). Tout invariant ou covariant de cette forme, multiplié par une puissance convenable de M, sera une intégrale des équations (2), l2 bis) et donnera, par conséquent, naissance à un nouvel inva- riant intégral. De même, si l'on a un système d'invariants intégraux, on en déduira un système de formes analogues à et qui seront des intégrales des équations (2), (2 bis). Atout invariant de ce sys- tème de formes correspondra une intégrale des équations (t); à tout covariant de ce système de formes correspondra un invariant intégral des équations (1). Soient, par exemple, F et F1 deux formes quadratiques par rapport aux ç; FI et F'1 ce qu'elles deviennent quand on y rem- place les par les différentielles dXi. Supposons que F et F, soient des intégrales de (2) et que, par conséquent, soient des invariants intégraux de (1).