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INVARIANTS INTÉGRAUX.

où $\mathrm {C} '$ n’est autre chose que $\mathrm {C}$ où les $\xi _{i}$ ont été remplacés par $dx_{i},$ est un invariant intégral des équations (1).

Voilà donc un moyen de former un grand nombre d’invariants intégraux ; le cas particulier où $p$ est nul (c’est-à-dire le cas des invariants ou covariants dits absolus) mérite d’attirer l’attention ; si $\mathrm {C} ,$ par exemple, est un covariant absolu de $\Phi ,$

$\int {\sqrt[{q}]{\mathrm {C'} ^{p}}},$

sera un invariant intégral des équations (1). On peut donc former un nouvel invariant intégral sans connaître le dernier multiplicateur $\mathrm {M} .$

Le même procédé s’applique aux invariants intégraux d’ordre supérieur. Soit, par exemple, un invariant intégral du second ordre

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\,dx_{i}\,dx_{k}.$

À cet invariant intégral se rattache la forme bilinéaire

$\Phi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\left(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'\right)$

qui est une intégrale des équations (2) et (2 bis).

Tout invariant ou covariant de cette forme, multiplié par une puissance convenable de $\mathrm {M} ,$ sera une intégrale des équations (2), (2 bis) et donnera, par conséquent, naissance à un nouvel invariant intégral.

De même, si l’on a un système d’invariants intégraux, on en déduira un système de formes analogues à $\Phi$ et qui seront des intégrales des équations (2), (2 bis). À tout invariant de ce système de formes correspondra une intégrale des équations (1) ; à tout covariant de ce système de formes correspondra un invariant intégral des équations (1).

Soient, par exemple, $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{1}$ deux formes quadratiques par rapport aux $\xi \,;$ $\mathrm {F} '$ et $\mathrm {F} _{1}'$ ce qu’elles deviennent quand on y remplace les $\xi _{i}$ par les différentielles $dx_{i}.$ Supposons que $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{1}$ soient des intégrales de (2) et que, par conséquent,

$\int {\sqrt {\mathrm {F} '}},\quad \int {\sqrt {\mathrm {F} _{1}'}}$

soient des invariants intégraux de (1).