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CHAPITRE XXII.
nant de ces équations linéaires (4) n’est autre chose que le jacobien
des
par rapport à
et à
jacobien que j’appelle ![{\displaystyle \mathrm {J} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaba700503d638cb69b5402d318275ddbea26c90)
On passe ainsi de la forme
à la forme
par la substitution
linéaire (4) dont le déterminant est
Soit
l’invariant de
qui correspond à l’invariant
de
on aura
![{\displaystyle \mathrm {I} =\mathrm {I} _{0}\mathrm {J} ^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb6c8ecfee68d072145b55f54b719659c6c07c44)
étant le degré de l’invariant.
Mais
est une fonction des coefficients de
et, par conséquent,
une fonction des
indépendante de
c’est donc une
intégrale des équations (1).
Soit
le dernier multiplicateur des équations (1) de telle façon
que l’on ait
![{\displaystyle \sum {\frac {d\mathrm {MX} _{i}}{dx_{i}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39da7c020794a8d979e640f882adb1e6b023d8c9)
et que
![{\displaystyle \int \mathrm {M} \,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d380f1820f7430a968c5ef14fa6f1c1f6233eba)
soit un invariant intégral d’ordre ![{\displaystyle n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59df02a9f67a5da3c220f1244c99a46cc4eb1c6)
Nous avons vu au no 252 que
sera une intégrale des équations (1).
Donc
![{\displaystyle \mathrm {I} _{0}\left(\mathrm {MJ} \right)^{p}=\mathrm {IM} ^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8243e21fc997560d4f3075c2b7a19630402ef8)
sera une intégrale des équations (1). À chaque invariant de la
forme
correspond donc une intégrale de ces équations.
Soit maintenant
un covariant de la forme
de degré
par
rapport aux coefficients de
et
par rapport aux variables
Si
est le covariant correspondant de
on aura
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {C} _{0}\mathrm {J} ^{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5667a58e7484c934a96df5de1ec9bf945ce6aa8)
Les coefficients de
sont des fonctions des coefficients de
ils sont donc indépendants de
il en est de même de ceux de
![{\displaystyle \mathrm {C} _{0}\left(\mathrm {MJ} \right)^{p}=\mathrm {CM} ^{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10785520584858704669d45804541c9d152da1e6)
Donc
est une intégrale des équations (2) ; donc
![{\displaystyle \int {\sqrt[{q}]{\mathrm {C'M} ^{p}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26bdfddc2c4b8a880f6d26b49bca19545ae9eb52)