Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/48

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nant de ces équations linéaires (4) n'est autre chose que le jaco- bien des x par rapport à y et à z, jacobien que j'appelle J. On passe ainsi de la forme à la forme <&0 par la substitution linéaire (4) dont le déterminant est J. Soit 10 l'invariant de <1>0 qui correspond à l'invariant I de <£; on aura I=IoJp p étant le degré de l'invariant. Mais 10 est une fonction des coefficients de 0 et, par consé- quent, une fonction des y, indépendante de z; c'est donc une intégrale des équations (1). Soit M le dernier multiplicateur des équations (1) de telle façon que l'on ait et que dx1 dx2 ... dxn soit un invariant intégral d'ordre n. Nous avons vu au nu 252 que MJ sera une intégrale des équa- tions (1). Donc Io(MJ)p = IMp sera une intégrale des équations (1). A chaque invariant de la forme correspond donc une intégrale de ces équations. Soit maintenant C un covariant de la forme , de degré p par rapport aux coefficients de et q par rapport aux variables Si Co est le covariant correspondant de 4>0, on aura C=C0Jp. Les coefficients de Co sont des fonctions des coefficients de 0, ils sont donc indépendants de z; il en est de même de ceux de C0(MJ)p= CMp, Donc CMP est une intégrale des équations (2); donc