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INVARIANTS INTÉGRAUX.

On peut démontrer le même résultat d’une autre manière.

Faisons le changement de variables du n^o 237. Nos deux invariants intégraux deviendront

$\int \mathrm {MJ} \,dy_{1}\,dy_{2}\,\ldots \,dy_{n-1}\,dz,$

et

$\int \mathrm {M'J} \,dy_{1}\,dy_{2}\,\ldots \,dy_{n-1}\,dz,$

$\mathrm {J}$ désignant le jacobien ou déterminant fonctionnel des variables anciennes $x_{1},$ $x_{2},\,\ldots ,$ $x_{n}$ par rapport aux variables nouvelles $y_{1},$ $y_{2},\,\ldots ,$ $y_{n-1},\,z.$

D’après le n^o 237, $\mathrm {MJ}$ et $\mathrm {M'J}$ ne doivent dépendre que de

$y_{1},\quad y_{2},\quad \ldots ,\quad y_{n-1}\,;$

{{SA|il en est donc de même du rapport ${\frac {\mathrm {M} '}{\mathrm {M} \,}}$ et comme toute fonction des $y_{i}$ est une intégrale des équations (1), ce rapport est une intégrale des équations (1). C. Q. F. D.

250.On peut varier ce procédé de plusieurs manières.

Soient, par exemple,

$\int \mathrm {F} _{1}(dx_{i}),\quad \int \mathrm {F} _{2}(dx_{i}),\quad \ldots \quad \int \mathrm {F} _{p}(dx_{i}),$

$p$ invariants linéaires du premier ordre. Supposons que l’on ait identiquement

$\mathrm {F} _{1}=\mathrm {M} _{2}\mathrm {F} _{2}+\mathrm {M} _{3}\mathrm {F} _{3}+\ldots +\mathrm {M} _{p}\mathrm {F} _{p}$

les $\mathrm {M} _{i}$ dépendant seulement des $x,$ et non des différentielles $dx.$

Je dis que les $\mathrm {M} _{i},$ si $p\leqq n+1$ seront des intégrales des équations (1).

En effet, soit $\mathrm {A} _{ik}$ le coefficient de $dx_{k}$ dans $\mathrm {F} _{i}$ ; on devra avoir

$\mathrm {A} _{1.k}=\mathrm {M} _{2}\mathrm {A} _{2.k}+\mathrm {M} _{3}\mathrm {A} _{3.k}+\ldots +\mathrm {M} _{p}\mathrm {A} _{p.k}.$

Faisons le changement de variables du n^o 237 ; nos invariants deviendront

$\int \mathrm {F} _{1}'(dx_{i}'),\quad \int \mathrm {F} _{2}'(dx_{i}'),\quad \ldots ,\quad \int \mathrm {F} _{p}'(dx_{i}').$