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FORMATION DES INVARIANTS.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Dynamique prennent la forme

$m\,{\frac {d^{2}x}{dt}}={\frac {d\mathrm {V} }{dx}},$

$\mathrm {V}$ étant homogène de degré $p$ par rapport aux $x.$

Nous avons vu que dans ce cas

$\mathrm {J} =\int {\textstyle \sum }\left(2x\,dy-p\,y\,dx\right)+(p-2)t(\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} _{0})$

est un invariant de la quatrième sorte.

Deux cas particuliers méritent quelque attention. Supposons

$p=2,$

il vient alors

$\mathrm {J} =2\int {\textstyle \sum }\left(x\,dy-y\,dx\right)$

et $\mathrm {J}$ est un invariant de la première sorte.

C’est ce qui arrive en particulier quand on suppose plusieurs points matériels s’attirant en raison directe de la distance. La vérification est alors fort aisée.

On a, en effet, dans ce cas,

$x=\mathrm {A} \cos \lambda t+\mathrm {B} \sin \lambda t$

et

$y=-m\lambda \mathrm {A} \sin \lambda t+m\lambda \mathrm {B} \cos \lambda t,$

$\lambda$ étant une constante absolue pendant que $\mathrm {A}$ et $h$ sont des constantes d’intégration qui sont d’ailleurs différentes pour les différents couples de variables conjuguées. Il vient alors

${\begin{aligned}dx&=\cos \lambda t\,d\mathrm {A} +\sin \lambda t\,d\mathrm {B} ,\\dy&=-m\lambda \sin \lambda t\,d\mathrm {A} +m\lambda \cos \lambda t\,d\mathrm {B} ,\end{aligned}}$

d’où

$x\,dy-y\,dx=m\lambda (\mathrm {A} \,d\mathrm {B} -\mathrm {B} \,d\mathrm {A} )$

ce qui montre que

$\mathrm {J} =2\lambda \int {\textstyle \sum }\,m(\mathrm {A} \,d\mathrm {B} -\mathrm {B} \,d\mathrm {A} )$

est bien un invariant puisque le temps en a disparu et que les constantes d’intégration et leurs différentielles y figurent seules.

Soit maintenant $p=-2\;$ c’est un cas qui est réalisé en parti-