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CHAPITRE XXIII.

La même homogénéité subsiste si l’on prend pour variables, comme au n^o 12,

${\begin{array}{rrrrrr}\Lambda ,&\mathrm {H} ,&\mathrm {Z} ,&\Lambda ',&\mathrm {H} ',&\mathrm {Z} ',\\\lambda ,&h,&\zeta ,&\lambda ',&h',&\zeta ',\end{array}}$

Donc

$\int \left(\Lambda \,d\lambda +\mathrm {H} \,dh+\mathrm {Z} \,d\zeta +\Lambda '\,d\lambda '+\mathrm {H} '\,dh'+\mathrm {Z} '\,d\zeta '\right)+3t(\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} _{0})$

sera un invariant.

Si l’on prend comme variables (voir n^o 12)

${\begin{array}{rrrrrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\xi ,&\xi ',&p,&p',\\\lambda ,&\lambda ',&\eta ,&\eta ',&q,&q',\\\end{array}}$

la fonction $\mathrm {F}$ sera homogène de degré −2 par rapport aux $\Lambda ,$ aux $\xi ,$ aux $\eta ,$ aux $p$ et aux $q.$

Il en résulte que

$\int {\textstyle \sum }\left(2\Lambda \,d\lambda +\xi \,d\eta -\eta \,d\xi +p\,dq-q\,dp\right)+6t(\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} _{0})$

est un invariant.

Le signe ${\textstyle \sum }$ signifie qu’on doit ajouter à chaque terme celui qu’on en déduit en accentuant les lettres. Ainsi

${\textstyle \sum }\,\xi \,d\eta =\xi \,d\eta +\xi '\,d\eta '.$

Si enfin, nous prenons les variables des n^os 131 et 137

${\begin{array}{rrr}\Lambda ,&\Lambda ';&\tau _{i},\\\lambda ,&\lambda ';&\sigma _{i},\end{array}}$

nous verrons de même que

$\int \left[2\Lambda \,d\lambda +2\Lambda '\,d\lambda '+{\textstyle \sum }\,\left(\tau _{i}\,d\sigma _{i}-\sigma _{i}\,d\tau _{i}\right)\right]+6t(\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} _{0})$

sera un invariant de la quatrième sorte.

Remarque sur l’invariant du n^o 256.

264.Au n^o 256, nous avons envisagé le cas où les $x$ désignent les coordonnées de $n$ points de l’espace et où les équations de la