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DOUBLE RÉFRACTION

tités $l,\,m,\,n$ définies par les relations suivantes

(I)

$\left\{{\begin{aligned}l&={\frac {d\mathrm {N} }{dy}}-{\frac {d\mathrm {M} }{dz}},\\[1.25ex]m&={\frac {d\mathrm {L} }{dz}}-{\frac {d\mathrm {N} }{dx}},\\[1.25ex]n&={\frac {d\mathrm {M} }{dx}}-{\frac {d\mathrm {L} }{dy}}\cdot \\\end{aligned}}\right.$

En effet si nous développons l’équation (6), elle devient

${\frac {d^{2}\mathrm {L} }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {L} }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {L} }{dz^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {L} }{dx^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx\,dy}}-{\frac {d^{2}\mathrm {N} }{dx\,dz}}=0,$

ou

${\frac {d^{2}\mathrm {L} }{dy^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx\,dy}}+{\frac {d^{2}\mathrm {L} }{dz^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {N} }{dx\,dz}}=0.$

Mise sous cette forme, il est facile de voir que cette équation n’est autre que la suivante

$-{\frac {dn}{dy}}+{\frac {dm}{dx}}=0.$

Par conséquent les trois équations du mouvement nous donneront le groupe d’équations

(II)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d{n}}{dy}}-{\frac {d{m}}{dz}}&=0,\\[1.5ex]{\frac {d{l}}{dz}}-{\frac {d{n}}{dx}}&=0,\\[1.5ex]{\frac {d{m}}{dx}}-{\frac {d{l}}{dy}}&=0.\\\end{aligned}}\right.$

dont chacune est formée avec $l,\,m,\,n,$ de la même manière que ces quantités sont formées avec $\mathrm {L,\,M,\,N} .$