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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

De l’équation (5) nous pouvons tirer une relation entre les valeurs moyennes des quantités qui y entrent. $\mathrm {L,\,M}$ et $\mathrm {N}$ étant des fonctions périodiques, et la valeur moyenne de la dérivée d’une fonction périodique étant nulle, nous aurons

$\mathrm {V} ^{2}\left[\rho \mathrm {L} \right]_{0}=\left[\mathrm {L} -\alpha \mathrm {Q} \right]_{0},$

les quantités affectées d’un indice 0 représentant les valeurs moyennes de ces quantités. En remplaçant $\mathrm {Q}$ par sa valeur (4) et en écrivant immédiatement les deux équations analogues à la précédente qui s’en déduisent par permutation, on obtient un nouveau groupe de relations :

(III)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {V} ^{2}\left[\rho \mathrm {L} \right]_{0}&=\mathrm {L} _{0}-\alpha \left(\alpha \mathrm {L} _{0}+\beta \mathrm {M} _{0}+\gamma \mathrm {N} _{0}\right)\\[1.5ex]\mathrm {V} ^{2}\left[\rho \mathrm {M} \right]_{0}&=\mathrm {M} _{0}-\beta \left(\alpha \mathrm {L} _{0}+\beta \mathrm {M} _{0}+\gamma \mathrm {N} _{0}\right)\\[1.5ex]\mathrm {V} ^{2}\left[\rho \mathrm {N} \right]_{0}&=\mathrm {N} _{0}-\gamma \left(\alpha \mathrm {L} _{0}+\beta \mathrm {M} _{0}+\gamma \mathrm {N} _{0}\right)\\\end{aligned}}\right.$

Enfin les équations (1) du mouvement nous donnent une dernière relation. Nous en tirons en dérivant respectivement chacune d’elles par rapport à $x,\,y,\,z$ et additionnant

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\rho {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+{\frac {d}{dy}}\rho {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+{\frac {d}{dz}}\rho {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=\Delta &\left({\frac {d\xi }{dx}}+{\frac {d\eta }{dy}}+{\frac {d\zeta }{dz}}\right)\\&-{\frac {d^{2}\Theta }{dx^{2}}}-{\frac {d^{2}\Theta }{dy^{2}}}-{\frac {d^{2}\Theta }{dz^{2}}},\\\end{aligned}}$

ou, puisque le second membre est identiquement nul

${\frac {d}{dx}}\rho {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+{\frac {d}{dy}}\rho {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+{\frac {d}{dz}}\rho {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=0.$

Or, pour les valeurs de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ définies par les relations (2), on a

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-\mu ^{2}\mathrm {V} ^{2}\mathrm {L} e^{\mathrm {P} }\,;$