Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 1, 1889.djvu/277

263

DOUBLE RÉFRACTION

par conséquent l’identité précédente peut s’écrire

${\frac {d}{dx}}\rho \mathrm {L} e^{\mathrm {P} }+{\frac {d}{dy}}\rho \mathrm {M} e^{\mathrm {P} }+{\frac {d}{dz}}\rho \mathrm {N} e^{\mathrm {P} }=0,$

ou

$e^{\mathrm {P} }\left({\frac {d}{dx}}\rho \mathrm {L} +{\frac {d}{dy}}\rho \mathrm {M} +{\frac {d}{dz}}\rho \mathrm {N} \right)+i\mu \rho e^{\mathrm {P} }\left(\alpha \mathrm {L} +\beta \mathrm {M} +\gamma \mathrm {N} \right)=0.$

Si, comme nous l’avons dit, nous négligeons les termes contenant $\mu ,$ nous aurons simplement

(IV)

${\frac {d}{dx}}\rho \mathrm {L} +{\frac {d}{dy}}\rho \mathrm {M} +{\frac {d}{dz}}\rho \mathrm {N} =0.$

Nous avons donc pour déterminer $\mathrm {V} ,$ les fonctions $\mathrm {L,\,M,\,N}$ et les valeurs moyennes de ces fonctions, les trois groupes d’équations (I) (II) (III) et l’identité (IV). Au premier abord le problème semble indéterminé, puisque la fonction $\rho$ est inconnue. Nous verrons cependant qu’il peut être résolu si on ne cherche que les quantités susceptibles d’une mesure expérimentale ; mais auparavant nous allons établir deux propriétés des fonctions périodiques qui nous permettront de démontrer la périodicité des quantités $l,\,m,\,n,$ et de déterminer les valeurs de ces quantités.

170. Propriétés des fonctions périodiques. — 1^o Si $u$ et $v$ sont deux fonctions périodiques de $z,$ on a la relation suivante entre les valeurs moyennes

$\left[u\,{\frac {dv}{dz}}\right]_{0}=-\left[v\,{\frac {du}{dz}}\right]_{0}\cdot$

En effet, le produit $uv$ de deux fonctions périodiques est une fonction périodique ; par conséquent, la valeur moyenne