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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

rapport à $z,$ puis additionnant, nous obtiendrons

${\frac {dl}{dx}}+{\frac {dm}{dy}}+{\frac {dn}{dz}}=0,$

ou, en remplaçant $l,\,m,\,n$ par les expressions précédentes,

${\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}=\Delta \varphi =0.$

Montrons que $\varphi$ est une fonction périodique. $\mathrm {L,\,M,\,N}$ étant, par hypothèse, des fonctions périodiques, $l,\,m,\,n$ seront, d’après les équations (I) des fonctions périodiques ayant pour valeur moyenne zéro ; par conséquent, les dérivées partielles de la fonction $\varphi$ seront de la forme

${\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dx}}&=\sum \mathrm {A} \sin(ax+by+cz+d)=\sum \mathrm {A} \sin \theta ,\\[1.5ex]{\frac {d\varphi }{dy}}&=\sum \mathrm {B} \sin(ax+by+cz+d)=\sum \mathrm {B} \sin \theta ,\\[1.5ex]{\frac {d\varphi }{dz}}&=\sum \mathrm {C} \sin(ax+by+cz+d)=\sum \mathrm {C} \sin \theta .\\\end{aligned}}$

En dérivant la première de ces égalités par rapport à $y$ et la seconde par rapport à $x,$ nous obtenons deux expressions de la même quantité ${\frac {d^{2}\varphi }{dx\,dy}}\,;$ ces deux expressions doivent être identiques. On a donc identiquement

$\sum \mathrm {A} b\cos \theta =\sum \mathrm {B} a\cos \theta ,$

et par conséquent,

$\mathrm {A} b=\mathrm {B} a.$