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DOUBLE RÉFRACTION

Si $\rho$ est positif, la quantité entre crochets est le produit de deux quantités positives et sa valeur moyenne doit être positive ; elle ne peut donc être nulle comme l’exige l’égalité précédente, que si

$\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}+\left({\frac {d\varphi }{dy}}\right)^{2}+\left({\frac {d\varphi }{dz}}\right)^{2}=0,$

ce qui exige que chacun des termes soit nul, c’est-à-dire,

${\frac {d\varphi }{dx}}={\frac {d\varphi }{dy}}={\frac {d\varphi }{dz}}=0.$

Or, cette suite d’égalités n’est vérifiée que si $\varphi$ est une constante.

Remarquons que si on fait $\rho =1$ dans la relation qui, par hypothèse, lie les fonctions $\rho$ et $\varphi ,$ cette relation devient $\Delta \varphi =0.$ Par conséquent, si une fonction périodique $\varphi$ est telle que l’on ait $\Delta \varphi =0,$ cette fonction se réduit à une constante.

171. Valeurs des quantités $l,\,m,\,n.$ — Le groupe d’équations (II) exprime que

$l\,dx+m\,dy+n\,dz$

est une différentielle exacte. Si nous désignons par $\varphi$ la fonction dont cette quantité est la différentielle, nous aurons

$l={\frac {d\varphi }{dx}},\qquad m={\frac {d\varphi }{dy}},\qquad n={\frac {d\varphi }{dz}}\cdot$

En dérivant la première des équations du groupe (I) par rapport à $x,$ la seconde, par rapport à $y,$ et la troisième, par