7
ONDES PLANES
6. Ondes planes. — Dans les cas des ondes planes,
et
ne dépendent que de
et de
Par suite :
![{\displaystyle \Delta \xi ={\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}\qquad \Delta \eta ={\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}\qquad \theta ={\frac {d\zeta }{dz}}\qquad \Delta \zeta ={\frac {d^{2}\zeta }{dz^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/741b4a676105d6979fcd87b3b6a784db4a3b78d0)
Les dérivées prises par rapport à
et à
sont nulles et les
équations du mouvement se réduisent à :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=\mu \,{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}\\[1.5ex]\rho \,{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=\mu \,{\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}\\[1.5ex]\rho \,{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}&=\mu \,{\frac {d^{2}\zeta }{dz^{2}}}+(\lambda +\mu ){\frac {d^{2}\zeta }{dz^{2}}}=(\lambda +2\mu ){\frac {d^{2}\zeta }{dz^{2}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0a7950bf1f0ec5461edc85dcdb2fc7a17555580)
Ces équations sont celles des cordes vibrantes.
Supposons que le déplacement soit parallèle à
![{\displaystyle \eta =\zeta =0\qquad \xi \neq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68754fb5a093935ecbe825fba4cbdd48cb9c295d)
Le plan d’onde est parallèle au plan des
La vibration est
transversale.
Il reste donc seulement l’équation
![{\displaystyle \rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mu \,{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6852855890f45285d7671ef11e46e56a861b9b34)
Cette équation a pour intégrale :
![{\displaystyle \xi =f\left(z+t{\sqrt {\frac {\mu }{\rho }}}\right)+f_{1}\left(z-t{\sqrt {\frac {\mu }{\rho }}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb717a077a048b6b8f860064eaa7b94fb13d339)
et
étant des fonctions arbitraires. Cette onde se propage
avec la vitesse ![{\displaystyle {\sqrt {\frac {\mu }{\rho }}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b68419afe0cac79a4280bcd9cb51b7372fe692)