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ONDES PLANES

6. Ondes planes. — Dans les cas des ondes planes, $\xi$ et $\eta$ ne dépendent que de $z$ et de $t.$ Par suite :

$\Delta \xi ={\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}\qquad \Delta \eta ={\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}\qquad \theta ={\frac {d\zeta }{dz}}\qquad \Delta \zeta ={\frac {d^{2}\zeta }{dz^{2}}}\cdot$

Les dérivées prises par rapport à $x$ et à $y$ sont nulles et les équations du mouvement se réduisent à :

${\begin{aligned}\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=\mu \,{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}\\[1.5ex]\rho \,{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=\mu \,{\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}\\[1.5ex]\rho \,{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}&=\mu \,{\frac {d^{2}\zeta }{dz^{2}}}+(\lambda +\mu ){\frac {d^{2}\zeta }{dz^{2}}}=(\lambda +2\mu ){\frac {d^{2}\zeta }{dz^{2}}}\cdot \end{aligned}}$

Ces équations sont celles des cordes vibrantes.

Supposons que le déplacement soit parallèle à $\mathrm {O} x\,:$

$\eta =\zeta =0\qquad \xi \neq 0.$

Le plan d’onde est parallèle au plan des $xy.$ La vibration est transversale.

Il reste donc seulement l’équation

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mu \,{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}.$

Cette équation a pour intégrale :

$\xi =f\left(z+t{\sqrt {\frac {\mu }{\rho }}}\right)+f_{1}\left(z-t{\sqrt {\frac {\mu }{\rho }}}\right)$

$f$ et $f_{1}$ étant des fonctions arbitraires. Cette onde se propage avec la vitesse ${\sqrt {\frac {\mu }{\rho }}}\cdot$