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conjugués de $k$. Parmi les $m$ corps $k,k^{1},\ldots ,k^{m-1}$ s’il s’en présente un ou plusieurs composés de nombres tous réels, nous nommerons ces corps des corps réels : supposons que ce soient, par exemple, les corps $k,k^{1},\ldots ,k^{s-1}.$ Un nombre $\alpha$ du corps $k$ est alors dit totalement positif dans $k$ quand les $s$ nombres conjugués à $\alpha$ : respectivement contenus dans $k,k^{1},\ldots ,k^{s-1}$ sont tous positifs. Au contraire, s’il se présente aussi des nombres imaginaires, dans chacun des $m$ corps $k,k^{1},\ldots ,k^{m-1}$ chaque nombre $\alpha$ dans $k$ sera toujours dit totalement positif.

Théorème XLII. — Tout nombre totalement positif dans $k$ est représentable comme somme de quatre carrés dont les bases sont des nombres entiers ou fractionnaires du corps $k$.

La démonstration de ce théorème présente des difficultés considérables ; elle repose essentiellement sur la théorie des corps relativement quadratiques que j’ai développée dernièrement dans plusieurs travaux^[1]. Je ne citerai ici que le théorème de cette théorie qui assigne les conditions nécessaires pour qu’on puisse résoudre l’équation ternaire de Diophante de la forme

$\alpha \xi ^{2}+\beta \eta ^{2}+\gamma \zeta ^{2}=0$,

où les coefficients $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont des nombres donnés de $k$ et où $\xi ,\eta ,\zeta$ désignent des nombres cherchés de $k$. La démonstration du théorème XLII se fait au moyen de l’application réitérée du théorème précédent.

Du théorème XLII découle une suite de propositions relatives a la représentation des fonctions rationnelles d’une variable a coefficients rationnels, qui ne prennent jamais de valeurs négatives. Je ne citerai que le théorème suivant, qui nous sera utile dans les paragraphes suivants

Théorème XLIII. — Désignons par $f(x)$ une fonction entière rationnelle de $x,$ dont les coefficients sont des nombres rationnels et qui ne

1. Ueber die Theorie der relativ-quadratischen Zahlkörper (Jahrensbericht d. Deutschen Math. Vereinigung, t. VI, 1899, et Math. Annalen, t. LI) ; enfin : Ueber die Theorie der relativ-abelschen Zahlkörper (Nach. d. K. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, 1898).
   (D. Hilbert)