la Géométrie que nous avons édifiée au § 9 à l’aide du domaine numérique algébrique ; dans cette Géométrie, il n’y a que des segments susceptibles d’être construits au moyen de la règle et du transporteur de segments, à savoir les segments déterminés par les nombres du domaine .
Soit un nombre quelconque de ; la définition du domaine nous montre que tout nombre algébrique conjugué de doit aussi faire partie de , et, puisque les nombres du domaine sont évidemment tous réels, il en résulte que le domaine ne peut contenir que des nombres réels algébriques dont les conjugués sont également réels.
Proposons-nous maintenant le problème qui consiste à construire un triangle rectangle d’hypoténuse égale a , et dont l’un des côtés de l’angle droit soit égal à . Or le nombre algébrique qui exprime la valeur numérique de l’autre côté de l’angle droit, n’est pas contenu dans le domaine numérique , car son conjugué se trouve être imaginaire. Le problème proposé n’est donc pas résoluble dans la Géométrie assignée et ne peut donc pas être résolu au moyen de la règle et du transporteur de segments, bien que la construction en soit immédiatement possible au moyen du compas.
§ 38.
Représentation des nombres algébriques et des fonctions rationnelles entières comme sommes de carrés.
La question de la possibilité des constructions géométriques à l’aide de la règle et du transporteur de segments nécessite, pour être traitée plus complètement, quelques théorèmes d’un caractère arithmétique et algébrique, qui me semblent présenter, par eux-mêmes, un grand intérêt.
On sait, depuis Fermat, que tout nombre entier rationnel positif peut être représenté comme somme de quatre carrés. Ce théorème de Fermat admet la remarquable généralisation suivante :
Définition. Soit un corps de nombres quelconques ; soit le degré de ce corps ; désignons par les corps
