I, 1-7. Axiomes d’association. II, 1-5. Axiomes de distribution. III. Axiome des parallèles (Postulat d’Euclide). IV. 1-6. Axiomes de congruence. V. Axiome de la continuité (Axiome d’Archimède).
§ 2.
Le groupe d’axiomes I : Axiomes d’association.
Les axiomes de ce groupe établissent une association entre les notions précédemment indiquées, points, droites et plans. Ces axiomes sont les suivants :
I, 1. Deux points distincts, A, B, déterminent toujours une droite a ; nous poserons AB = a ou BA = a.
Au lieu de « déterminent », nous emploierons aussi d’autres tournures de phrase ; par exemple : A « est situé sur » a ; A « est un point de » a ; a « passe par A et par B » ; a « joint A et B » ou « joint A à B ». Lorsque A est situé sur a et, en outre, sur une autre droite b, nous emploierons aussi le mode d’expression : « Les droites a et b ont le point A en commun », et ainsi de suite.
I, 2. Deux points distincts quelconques d’une droite déterminent cette droite, et sur toute droite il y a au moins deux points ; c’est-à-dire que, si l’on a AB = a et AC = a et B ≠ C, on a aussi BC = a.
I, 3. Trois points A, B, C non situés sur une même droite déterminent toujours un plan α ; nous poserons ABC = α.
Nous emploierons aussi les tournures : A, B, C « sont situés dans » le plan α ; « sont des points de » α, et ainsi de suite.
I, 4. Trois points quelconques A, B, C d’un plan α, non situés sur une même droite, déterminent ce plan α.
I, 5. Lorsque deux points A et B d’une droite a sont situés dans un plan α, il en est de même tout point de a.
