passe par un point du segment AB, elle passera toujours ou bien par un point du segment BC ou bien par un point du segment AC.
Les axiomes II, 1-4 renferment des énoncés qui ne sont relatifs qu’aux points d’une droite et peuvent donc être nommés axiomes linéaires du groupe II ; l’axiome II, 5 renferme un énoncé relatif aux éléments de la Géométrie plane, et sera dit par conséquent l’axiome planaire du groupe II.
§ 4.
Conséquences des axiomes d’association et de distribution.
Des axiomes linéaires II, 1-4 nous déduisons d’abord sans peine les théorèmes suivants :
Théorème III. — Entre deux points quelconques d’une droite il y a toujours une infinité de points.
Théorème IV. — Étant donné, sur une droite, un nombre fini de points, on peut toujours distribuer ces points en une suite A, B, C, D, E, … , (fig. 4), telle que B soit situé entre A d’une part et C,
D, E, … , K de l’autre, puis que C soit situé entre A, B d’une part et D, E, … , K de l’autre, ensuite que D soit situé entre A, B, C d’une part et E, … , K de l’autre, et ainsi de suite. Outre cette distribution il n’y en a qu’une autre, la distribution inverse, qui jouisse de la propriété énoncée.
Théorème V. — Toute droite a située dans un plan α sépare tous les autres points de ce plan en deux régions qui ont la propriété suivante : tout point A de l’une, joint à tout point B de l’autre, détermine un segment AB sur lequel est situé un point de la droite a ; au con-
