Page:Hilbert - Les Principes fondamentaux de la géométrie, 1900, trad. Laugel.djvu/17

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Lorsque les sommets d’un polygone sont tous distincts, lorsque aucun sommet ne tombe sur un côté et enfin lorsque deux côtés quelconques n’ont aucun point en commun, le polygone est dit simple.

En s’appuyant sur le théorème V nous obtenons alors sans difficultés sérieuses les théorèmes suivants :

Théorème VI. — Tout polygone simple dont les sommets sont tous situés dans un plan α et partage les points de ce plan, qui n’appartiennent pas à la ligne brisée formant ce polygone, en deux régions : l’une intérieure, l’autre extérieure, jouissant de la propriété suivante :

Si A est un point de l’intérieur (point intérieur) et B un point de l’extérieur (point extérieur), toute ligne brisée joignant A et B a au moins un point en commun avec le polygone ; au contraire, si A et A’


sont deux points intérieurs et B et B’ deux points extérieurs, il y a toujours alors des lignes brisées joignant respectivement A et A’, et B et B’ et n’ayant aucun point en commun avec le polygone. Il existe dans le plan α des droites dont tout le cours a lieu à l’extérieur du polygone ; mais il n’en existe aucune, au contraire, dont tout le cours ait lieu à l’intérieur du polygone.

Théorème VII. — Tout plan α partage les autres points de l’espace en deux régions ayant la propriété suivante : Tout point A de l’une détermine par sa jonction avec tout point B de l’autre un segment AB qui renferme un point de α ; au contraire, deux points quelconques A et A’ d’une même région déterminent toujours un segment AA’ qui ne renferme aucun point de α.

Convention. — En faisant usage des notations de ce théorème VII,