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Maintenant, puisque le nombre

${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=a{\sqrt {1+\left({\tfrac {b}{a}}\right)^{2}}}$

appartient au domaine $\Omega$, avec nos conventions, les axiomes de congruence IV sont aussi vérifiés et il en est évidemment de même de l’axiome d’Archimède V.

De tout cela on conclut que toute contradiction dans les conséquences tirées de nos axiomes devrait aussi apparaître dans l’arithmétique du domaine $\Omega .$

Les considérations analogues relatives à la Géométrie de l’espace ne présenteraient aucune difficulté.

Dans les développements qui précèdent, si l’on choisissait, au lieu du domaine $\Omega$, le domaine de tous les nombres réels nous obtiendrions également une géométrie où l’ensemble des axiomes I-V serait aussi vérifié : mais pour notre démonstration il suffisait d’employer le domaine $\Omega$ qui renferme seulement un ensemble dénumérable d’éléments.

§ 10.

Indépendance de l’axiome des parallèles (Géométrie non euclidienne).

Maintenant que l’on a reconnu la non-contradiction des axiomes, il est intéressant de rechercher s’ils sont tous indépendants.

Or, nous allons voir, en effet, qu’aucun des axiomes ne peut être déduit des autres au moyen de raisonnements logiques.

D’abord, en ce qui concerne les divers axiomes des groupes I, II et IV, il est facile de démontrer que les axiomes d’un même groupe sont tous indépendants(^[1]).

Ensuite, dans notre mode d’exposition, les axiomes des groupes I et II sont le fondement de tous les autres axiomes, en sorte qu’il suffira de démontrer que chacun des groupes III, IV et V est indépendant des autres.

1. Comparer mon Cours sur la Géométrie euclidienne (semestre d’hiver 1898-1899), autographié pour mes auditeurs, d’après la rédaction de M. le Dr von Schaper.