pondent aux points nous aurons pour longueurs des trois segments les expressions respectives
et par suite la somme des longueurs des segments et égale à la longueur du segment . Or ce fait est précisément condition pour que l’axiome IV, 3 soit vérifié.
Mais l’axiome IV, 6 ou plutôt le premier théorème de congruence des triangles n’est pas toujours vérifié dans cette Géométrie.
Considérons, en effet, dans le plan z = 0 les quatre points
O | ayant pour coordonnées…… | , | , |
A | » » | , | , |
B | » » | , | , |
C | » » | , | . |
Dans les deux triangles (rectangles) OAC et OBC (fig. 15) les angles en C et les côtés BC et AC sont respectivement congruents
puisque le côté OC est commun et que les segments AC et BC ont pour même longueur ½. Au contraire, les troisièmes côtés OA et OB ont pour longueurs respectives 1 et et, par suite, ne sont pas congruents.
Il ne serait pas difficile d’ailleurs de trouver, dans cette Géométrie, deux triangles pour lesquels l’axiome IV, 6 lui-même ne serait pas vérifié.