notre système numérique complexe, suivant une distribution analogue à celle que l’on emploie pour les nombres réels ; on reconnaît aisément aussi que les théorèmes qui consistent à dire que les inégalités subsistent, lorsque à chacun de leurs membres on ajoute un même nombre ou lorsqu’on y multiplie chaque membre par un même nombre > 0, sont également vérifiés dans notre système numérique complexe.
Maintenant, si l’on désigne par n un nombre entier positif rationnel quelconque, il est clair que pour les deux nombres n et t du domaine l’inégalité n < t sera vérifiée, car la différence n - t regardée comme fonction de t sera toujours négative pour des valeurs positives de t suffisamment grandes. Nous exprimerons ce fait comme il suit : Les deux nombres 1 et t du domaine , qui tous deux sont > 0, jouissent de la propriété qu’un multiple quelconque du premier sera toujours plus petit que le second de ces nombres.
Ceci posé, au moyen des nombres complexes du domaine nous édifierons une Géométrie, absolument comme nous l’avons fait au § 9, où nous avons pris pour base les nombres algébriques du domaine . Nous regarderons un système de trois nombres (x, y, z) du domaine ) comme un point, et les rapports (u : v : w : r) de quatre nombres quelconques du domaine , tant que u, v, w, r ne sont pas tous nuls, comme un plan ; enfin l’équation ·
exprimera que le point (x, y, z) est situé dam le plan (u : v : w : r), et la droite sera l’ensemble de tous les points situés dans deux plans à la fois. Si nous adoptons alors relativement à la distribution des éléments ainsi qu’aux déplacements des segments et des angles des conventions tout à fait analogues à celles du § 9, nous obtiendrons une Géométrie non archimédienne, où, comme le font voir les propriétés que nous venons d’exposer du système numérique complexe , tous les axiomes sont vérifiés, hormis l’axiome d’Archimède. En effet, sur le segment t nous pouvons porter le segment 1 en le faisant glisser bout à bout un nombre infini de fois sans jamais arriver à atteindre l’extrémité du segment t ; or, cela est en contradiction avec l’axiome d’Archimède.
