et à n formeront avec les mêmes droites OA, OA’ des angles aigus que nous désignerons respectivement par μ', μ et ν', ν. Maintenant, si nous exprimons ces trois perpendiculaires, ainsi qu’il a été précédemment indiqué, au moyen des hypoténuses et des angles adjacents à celles-ci dans les triangles rectangles qui leur correspondent, ce qu’il est
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/84/Hilbert_Fondations_de_G%C3%A9om%C3%A9trie_Fig_19.jpg/220px-Hilbert_Fondations_de_G%C3%A9om%C3%A9trie_Fig_19.jpg)
possible de faire de deux manières, nous obtiendrons les trois congruences segmentaires
(1) | ||
(2) | ||
(3) |
Maintenant l, par hypothèse, devant être parallèle à l', et m devant l’être de même à m*, les perpendiculaires abaissées du point O sur l’ et m* devront respectivement coïncider avec les perpendiculaires abaissées de ce point sur l et m ; et l’on aura, par suite,
(4) | ||
(5) |
Cela posé, si nous multiplions symboliquement chacun des deux membres de la congruence (3) par le symbole λ'μ, en nous souvenant que, d’après ce qui a été déjà établi, les symboles dont il s’agit sont échangeables, nous trouverons
Dans le premier membre de cette congruence ayons égard à la valeur donnée par (2) pour μa' et dans le second membre à la valeur donnée par (4) pour λ'b ; il viendra