Pour le démontrer prenons le segment c = AB (fig. 18) ; portons, en prenant A comme sommet, de part et d’autre de ce segment les angles α et β ; puis, du point B, abaissons sur les deux autres côtés de ces
angles α et β les perpendiculaires BC et BD ; enfin du point A menons la perpendiculaire AE à CD.
Cela posé, les angles et étant droits, les quatre points A, B, C, D seront situés sur une circonférence et, par suite, les deux angles et inscrits dans un segment sous-tendu par la même corde AD seront congruents. Or, et forment ensemble un angle droit et il en est de même de et de ; par suite, les angles et sont congruents, c’est-à-dire que
De là résultent immédiatement les congruences segmentaires
ce qui démontre l’exactitude de la congruence dont il était question.
Revenons maintenant à la figure du théorème de Pascal et désignons par O le point d’intersection des deux droites et désignons les segments OA, OB, OC ; OA', OB', OC’ ; CB', BC' ; CA', AC’ ; BA’, AB’ (fig. 19) respectivement par a, b, c ; a',. b', c' ; l, l' ; m, m' ; n, n'. Du point O, abaissons ensuite des perpendiculaires à l, m, n. La perpendiculaire à l formera avec les deux droites OA, OA' des angles aigus que nous désignerons respectivement par λ, λ, de même les perpendiculaires à m