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Enfin, dans notre calcul segmentaire, la loi distributive

$a(b+c)=ab+ac$

est également vérifiée.

Pour le démontrer, construisons les segments ab, ac et a(b + c) (fig. 24), et, par l’extrémité du segment c (voir la fig. 24 ci-dessous),

menons une parallèle à l’autre côté de l’angle droit. La congruence des deux triangles ombrés dans la fig. 24 et l’application du théorème de la congruence des côtes opposés d’un parallélogramme fournissent la démonstration demandée.

Si l’on désigne par b et c deux segments quelconques, il existe toujours un segment a tel que l’on ait c = ab ; ce segment a est désigné par la notation ${\tfrac {c}{b}}$ et se nomme le quotient de c par b.

§ 16.

Les proportions et les théorèmes de similitude.

À l’aide du calcul segmentaire précité, on peut établir comme il suit la théorie d’Euclide des proportions sans prêter à aucune objection et sans faire usage de l’axiome d’Archimède.

Convention. — a, b, a', b' désignant quatre segments quelconques, la proportion

$a:b=a':b'$

n’exprimera pas autre chose que l’équation segmentaire

$ab'=ba'$