qui a lieu dans ce cas, ainsi que sa réciproque, sous le nom de théorème de Desargues. Le théorème aura l’énonce suivant :
Théorème XXXII (Théorème de Desargues). — Deux triangles étant situés dans un plan de telle sorte que leurs côtés homologues soient respectivement parallèles, les droites qui joignent les sommets homologues ou bien passeront par un même point, ou bien seront parallèles.
Réciproquement, deux triangles étant situés dans un plan de telle sorte que les droites qui joignent les sommets homologues ou bien passent par un même point ou bien soient parallèles (fig. 35 bis), et
de plus deux paires de côtés homologues dans les triangles étant parallèles, les troisièmes côtés des deux triangles seront également parallèles.
Comme on l’a déjà dit, le théorème XXXII est une conséquence des axiomes I-III ; par conséquent, la vérification du théorème de Desargues dans le plan est une condition nécessaire pour que la Géométrie de ce plan puisse être présentée comme une partie d’une Géométrie de l’espace où les axiomes des groupes I-III sont tous vérifiés.
Supposons maintenant, comme dans les Chapitres III et IV, que l’on ait assigné une Géométrie plane où sont vérifiés les axiomes I, 1-2 et II-IV et que l’on ait introduit dans cette Géométrie un calcul segmentaire conformément au § 15 : alors, ainsi qu’on l’a exposé au § 17, à tout point du plan on peut faire correspondre un couple de segments (x, y) et à toute droite un rapport de trois segments . de telle sorte que l’équation linéaire
représente la condition pour qu’un point soit sur une droite et qu’une
