droite passe par un point. Le système de tous les segments de notre Géométrie forme, conformément au § 17, un domaine de nombres où ont lieu les propriétés 1-16 exposées dans le § 13, et nous pouvons alors, au moyen de ce domaine de nombres, ainsi qu’il a été fait au § 9 ou au § 12, au moyen des systèmes numériques respectifs et , construire une Géométrie de l’espace : Nous conviendrons à cet effet qu’un système de trois segments (x, y, z) représentera un point, le rapport de quatre segments (u : ν : w : r) un plan, tandis que la droite sera définie comme intersection de deux plans ; alors l’équation linéaire
exprime que le point (x, y, z) est situé dans le plan (u : ν : w : r).
Enfin, quant à la distribution des points sur une droite, ou des points d’un plan par rapport à une droite de ce plan, ou finalement quant à la distribution des points de l’espace par rapport à un plan, cela sera déterminé par des inégalités entre segments d’une manière analogue à ce qui a été exposé pour le plan au § 9.
Puisqu’en prenant la valeur z = 0 nous retombons sur la Géométrie plane primitive, nous reconnaissons que notre Géométrie plane peut être regardée comme une partie de notre Géométrie de l’espace ; or la condition nécessaire pour qu’il en soit ainsi c’est, comme on l’a vu précédemment, que le théorème de Desargues soit vérifié, d’où l’on conclut que, dans la Géométrie plane assignée, le théorème de Desargues doit être également vérifié.
Observons que ce que nous venons d’affirmer peut aussi se déduire directement, sans aucune peine, du théorème XXIII de la théorie des proportions.
§ 23.
Impossibilité de démontrer le théorème de Desargues dans le plan sans employer les axiomes de la congruence.
Nous allons maintenant nous proposer cette question : Peut-on, dans la Géométrie plane, et sans invoquer les axiomes de la congruence, démontrer le théorème de Desargues ? La réponse est la suivante :
