§ 24.
Introduction d’un calcul segmentaire indépendant des axiomes de la congruence et basé sur le théorème de Desargues.
Afin de saisir complètement la portée du théorème de Desargues (théorème XXXII), prenons pour base une Géométrie plane où sont vérifiés les axiomes I, 1-2 ; II-III, c’est-à-dire tous les axiomes planaires des trois premiers groupes d’axiomes, et, dans cette Géométrie, introduisons un nouveau calcul segmentaire indépendant des axiomes de la congruence de la manière suivante :
Prenons dans le plan deux droites fixes qui se coupent au point O, et dans ce qui suit calculons seulement avec des segments dont l’origine soit le point O et dont l’extrémité soit située sur une des deux droites fixes. Regardons aussi le point O seul comme un segment que nous nommerons le segment 0 (zéro), ce que nous écrirons
Soient E et E’ deux points fixes situés respectivement sur les droites fixes passant par O ; désignons chacun des deux segments OE et OE’ par 1 ; ce que nous écrirons ainsi
Quant à la droite EE’, nous la nommerons pour abréger la droite-unité. Soient ensuite A, A’ des points respectivement situés sur les droites OE et OE’ ; si la droite AA’ est parallèle à la droite EE’, nous dirons que les segments OA et OA’ sont égaux, ce que l’on écrira ainsi :
Maintenant, pour définir d’abord la somme des segments a = OA
et b = OB, construisons AA’ parallèle à la droite-unité EE’(fig. 39) ; menons alors par A’ une parallèle à OE et par B une parallèle à OE’. Ces deux droites se couperont en un certain point A". Finalement, par ce point A" menons une parallèle à la droite-unité ; cette parallèle coupera les droites fixes OE et OE’ en C et C’ ; l’on dira alors que
