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l’autre, les segments

$bc=OB'\quad {\text{et}}\quad bc=OC'$

$ab=OD\quad (ab)c=OD'$

menons A’B’ parallèle à AB, B’C’ parallèle & BC, CD parallèle à AG, et enfin A’D’ parallèle à AD (fig. 43) ; l'on reconnaît immédiatement

que ce que nous avons affirmé revient à dire que CD doit aussi être parallèle à C’D’. Désignons le point d’intersection des droites AD et BC par F et le point d’intersection des droites A’D’ et B’C’ par F’; dans les triangles ABF et A’B’F’, les côtés homologues sont parallèles ; en vertu du théorème de Desargues, les trois points 0, F, F’ sont donc alors situés en ligne droite. Grâce à ce fait, nous pouvons appliquer la seconde partie du théorème de Desargues aux deux triangles CDF et C’D’F, et nous en concluons que CD est parallèle à C’D’.

Nous allons enfin, en nous appuyant sur le théorème de Desargues, démontrer que, dans notre nouveau calcul segmentaire, les deux lois distributives

$a(b+c)=ab+ac$

et

$(a+b)c=ac+bc$

sont vérifiées.

Pour démontrer la première de ces lois, nous emploierons la fig..44 (^[1]0).

1. Les fig. 44, 45 et 47 ont été dessinées par M. le Dr. von Schaper, qui a également pris soin des détails des démonstrations relatives à ces figures.