Page:Hilbert - Les Principes fondamentaux de la géométrie, 1900, trad. Laugel.djvu/84

découpe sur l’axe X un segment c = OO'. Menons ensuite par O la droite l parallèle a i' ; soit P’ un point quelconque de l' ; la parallèle à l’axe X menée par le point P’ rencontre la droite l en P et découpe sur l'axe Y un segment y = OB ; enfin les parallèles menées par P et P’ à l’axe Y découpent sur l’axe X des segments x = OA et x' = OA (fig. 47).

Nous nous proposons alors de démontrer que l’on a l’équation segmentaire

$x'=x+c$.

À cet effet, menons O’C parallèle à la droite-unité, puis CD parallèle a l’axe X et AD parallèle à l’axe Y ; alors ce que nous avons affirmé revient à dire que l’on a nécessairement

A’D parallèle à O’C.

Construisons encore le point D’ d’intersection des droites CD et A’P et menons O’C’ parallèle à l’axe Y.

Dans les triangles OCP et O'C'P', les droites qui joignent les sommets homologues étant parallèles, il résulte de la deuxième partie du théorème de Desargues, que l’on a nécessairement

CP parallèle à C’P’ ;

de même, la considération des triangles ACP et A’C’P’ montre que l’on a

AC parallèle à A’C’.

Dans les triangles ACD et C'A'O' les côtés homologues étant parallèles, les droites AC’, CA’, DO’ devront se couper en un même point, et la considération des deux triangles C’A’D et ACO’ fait alors voir que A’D et CO’ sont parallèles.