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§ 29.

Construction d’une Géométrie de l’espace au moyen d’un système numérique de Desargues.

Soit assigné maintenant un système numérique quelconque de Desargues D ; ce système rend possible la construction d’une Géométrie de l’espace où les axiomes I, II, III sont tous vérifiés.

Pour le reconnaître, regardons le système de trois nombres quelconques (x, y, z) du système numérique de Desargues D comme un point, et celui de quatre nombres quelconques (u : v : w : r) de D, dont les trois premiers ne sont pas simultanément nuls, comme un plan ; d’ailleurs les systèmes (u : v : w : r) et (au : av : aw : ar), a désignant un nombre quelconque de D différent de zéro, représenteront le même plan. L’équation

$ux+vy+wz+r=0$

exprimera que le point (x, y, z) est situé dans le plan (u : v : w : r). Enfin, nous définirons la droite au moyen d’un système de deux plans (u’ : v’ : w’ : r’), (u" : v" : w" : r"), à condition que l’on ne puisse dans D trouver deux nombres a’, a" différents de zéro, tels que l’on ait simultanément

$a'u'=a''u'',\quad a'v'=a''v'',\quad a'w'=a''w''$.

Un point (x, y, s) est dit situé sur la droite

$[(u':v':w':r'),(u'':v'':w'':r'')]$

lorsqu’il est commun aux deux plans (u', v', w', r') et (u", v", w", r"). Deux droites qui renferment les mêmes points sont regardées comme n’étant pas distinctes.

En appliquant les règles de calcul I-II du § 13 qui sont, par hypothèse, vérifiées pour les nombres de D, nous arrivons sans peine à ce résultat que, dans la Géométrie de l’espace que nous venons de construire, les axiomes I et III sont tous vérifiés.

Afin que les axiomes II de la distribution soient également vérifiés,