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d’où, en vertu de (4).

$v''y_{1}+r''\lesseqqgtr v''y_{2}+r''\lesseqqgtr v''y_{3}+r''$ ;

d’où

$v''y_{1}\lesseqqgtr v''y_{2}\lesseqqgtr v''y_{3}$ ;

et, comme $v''$ n’est pas nul, nous aurons enfin

$y_{1}\lesseqqgtr y_{2}\lesseqqgtr y_{3}$ ;

dans toutes ces doubles inégalités, c’est toujours sans exception, soit les signes supérieurs, soit les signes intermédiaires, soit les signes inférieurs qui ont lieu simultanément.

Les considérations précédentes montrent que dans notre Géométrie les axiomes linéaires II, 1-4 de la distribution sont vérifiés. Il reste encore à faire voir que l’axiome planaire II, 5 est également vérifié.

À cet effet, soient donnés un plan $(u:v:w:r)$ et dans ce plan une droite $[(u:v:w:r),(u':v':w':r')]$. Convenons que tous les points $(x,y,z)$ situés dans le plan $(u:v:w:r)$, pour lesquels l’expression $u'x+v'y+w'z+r'$ est respectivement plus petite ou plus grande que zéro, seront alors respectivement situés d’un côté ou de l’autre côté de la droite en question. Il nous faudra donc démontrer que cette convention s’accorde avec celles qui ont été adoptées précédemment, ce qui est facile à établir.

Nous reconnaissons ainsi que les axiomes I, II, III sont tous vérifiés dans cette Géométrie de l’espace qui provient de la manière indiquée du système numérique de Desargues D. Si nous réfléchissons que le théorème de Desargues est une conséquence des axiomes I, II, III, nous voyons que la proposition que nous venons d’énoncer est la réciproque exacte du résultat auquel nous sommes arrivés au § 28.

§ 30.

La portée du théorème de Desargues.

Lorsque, dans une Géométrie plane, les axiomes I, 1-2 ; II ; III sont vérifiés et lorsque, en outre, il en est de même du théorème de De-