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mutative de la multiplication ne soit pas vérité. Nous pouvons alors, comme il est facile de le voir, supposer que l’on ait

$a>0,\quad b>0,\quad ab-ba>0$.

En vertu de la condition 6 du § 13 il existe un nombre c, (> 0), tel que

$(a+b+t)c=ab-ba$.

Choisissons enfin un nombre d qui satisfasse en même temps aux inégalités

$d>0,\quad d<t,\quad d<c$,

et désignons par m et n deux nombres entiers rationnels, (≥), tels que l’on ait respectivement

$md<a\leq (m+1)d$

et

$nd<b\leq (n+1)d$

L’existence de tels nombres m, n est une conséquence immédiate du théorème d’Archimède (théorème XVII du § 13). En se reportant à la remarque faite au début de la démonstration actuelle, nous tirons des dernières inégalités, en les multipliant l’une par l’autre,

$ab\leq mnd^{2}+(m+n+t)d^{2}$,

$ba>mnd^{2}$,

et en retranchant l’une de l’autre ces dernières

$ab-ba\leq (m+n+t)d^{2}$.

Or

$md<a,\quad nd<b,\quad d<t$,

et, par suite,

$(m+n+t)d<a+b+t$.

C’est-à-dire

$ab-ba<(a+b+t)d$,

ou, puisque d < c,

$ab-ba<(a+b+t)c$.

Cette inégalité est en contradiction avec la détermination du nombre c et, par suite, le théorème XXXVIII est démontré.