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§ 33.

La loi commutative de la multiplication dans un système numérique non archimédien.

Théorème XXXIX. — Dans un système numérique non archimédien la loi commutative de la multiplication n’est pas une conséquence nécessaire des autres règles de calcul ; c’est-à-dire qu’il existe un système de nombres qui possède les propriétés 1-11, 12-16, énumérées au § 13, système numérique de Desargues d’après le § 28, où la loi commutative de la multiplication (12) n’est pas vérifiée.

Démonstration. — Soit t un paramètre et T une expression quelconque comprenant un nombre de termes, fini ou infini, de la forme

$T=r_{0}t^{n}+r_{1}t^{n+1}+r_{2}t^{n+2}+\ldots$,

ou $r_{0}(\neq 0),r_{1},r_{2},\ldots$ désignent des nombres rationnel quelconques et où n est un nombre entier rationnel quelconque $\lesseqqgtr 0$. Soit enfin s un autre paramètre et S une expression quelconque, comprenant un nombre de termes fini ou infini, de la forme

$S=s_{0}T^{n}+s_{1}T^{n+1}+s_{2}T^{n+2}+\ldots$,

ou $T_{0}(\neq 0),T_{1},T_{2},\ldots$ désignent des expressions quelconques de la forme T et où m est un nombre entier rationnel quelconque $\lesseqqgtr 0$. Nous regarderons l’ensemble de toutes les expressions de la forme S comme un système numérique complexe $\Omega (s,t)$ où nous conviendrons des règles de calcul suivantes : L’on opérera sur s et t comme sur des paramètres d’après les régies 7-11 du § 13, tandis qu’au lieu de la règle 12 l’on appliquera toujours la formule

(1) ts = 2st.

Soient maintenant S' et S" deux expressions quelconques de la forme S :

$S'=s^{m'}T'_{0}+s^{m'+1}T'_{1}+s^{m'+2}T'_{2}+\ldots$,

$S''=s^{m'}T''_{0}+s^{m'+1}T''_{1}+s^{m'+2}T''_{2}+\ldots$,

L’on peut évidemment en les réunissant former une nouvelle expres-