Page:Hilbert - Les Principes fondamentaux de la géométrie, 1900, trad. Laugel.djvu/95

sion S'+ S", ayant aussi la forme S et qui est aussi déterminée d’une manière univoque. Cette expression S'+ S" sera dite la somme des nombres représentes par S' et S".

En multipliant terme à terme les deux expressions S’, S" nous obtiendrons en premier lieu une expression de la forme

${\begin{aligned}S'S''=&s^{m'}T'_{0}s^{m''}T''_{0}+(s^{m'}T'_{0}s^{m''+1}T''_{1}+s^{m'+1}T'_{1}s^{m''}T''_{0})\\\ &+(s^{m'}T'_{0}s^{m''+2}T''_{2}+s^{m'+1}T'_{1}s^{m'+1}T''_{1}+s^{m'+1}T'_{1}s^{m'}T''_{0})\\\ &+\ldots \end{aligned}}$

Cette expression, en employant la formule (1), devient évidemment une expression de la forme S, déterminée d’une manière univoque ; on la nommera le produit du nombre représente par S’ par le nombre représenté par S".

Ces règles de calcul une fois posées, l’exactitude des règles 1-5 du § 13 devient évidente. Il n’est pas non plus difficile de vérifier l’exactitude de l’énoncé 6 du § 13. A cet effet, soient

$S'=s^{m'}T'_{0}+s^{m'+1}T'_{1}+s^{m'+2}T'_{2}+\ldots$,

$S''=s^{m''}T''_{0}+s^{m''+1}T''_{1}+s^{m''+2}T''_{2}+\ldots$,

deux expressions données de la forme S et supposons que, conformément à nos conventions, le premier coefficient $r'_{0}$ dans $T'_{0}$ soit différent de zéro. En comparant les mêmes puissances de s dans les deux membres d’une équation

(2) $S'S''=S^{*}$,

l’on trouve d’abord comme exposant un nombre entier m' déterminé d’une manière univoque ; puis une succession d’expressions

$T''_{0},\quad T''_{1},\quad T''_{3}$,

telles que l’expression

$S''=s^{m'}T'_{0}+s^{m'+1}T'_{1}+s^{m'+1}T'_{1}+\ldots$

vérifié l’équation (2) quand on emploie la formule (1) ; la démonstration demandée est ainsi effectuée.

Finalement, pour rendre possible la distribution des nombres de notre système numérique $\Omega (s,t)$, nous adopterons les conventions sui-