ces concepts élémentaires ; aucune affirmation relative à la science dont nous examinons les principes fondamentaux ne sera admise comme exacte, à moins qu’on ne puisse la tirer des axiomes au moyen d’un nombre fini de déductions. Si l’on considère les choses plus exactement, la question suivante se pose : Certaines affirmations contenues dans des axiomes ne sont-elles pas dépendantes les unes des autres, et, par suite, ces axiomes ne renferment-ils pas des parties communes superflues que l’on doit supprimer si l’on veut obtenir un système d’axiomes complètement indépendants ?
Mais avant tout, parmi tant de questions soulevées par l’examen des axiomes, je regarde comme la plus importante celle-ci : Démontrer que les axiomes ne sont pas contradictoires ; c’est-à-dire démontrer qu’en se basant sur les axiomes l’on ne pourra jamais arriver à des résultats contradictoires au moyen d’un nombre fini de déductions logiques.
En Géométrie on démontre la non-contradiction des axiomes en construisant un domaine convenable de nombres tel qu’aux axiomes géométriques correspondent des relations analogues entre les nombres de ce domaine et tel, par conséquent, que toute contradiction dans les conclusions tirées des axiomes géométriques serait forcément reconnaissable dans l’arithmétique de ce domaine. De cette façon la non-contradiction des axiomes géométriques est ramenée à la démonstration de la non-contradiction des axiomes de l’Arithmétique.
Quant à la démonstration de la non-contradiction des axiomes de l’Arithmétique, elle demande à être effectuée par voie directe.
Les axiomes de l’Arithmétique ne sont pas essentiellement autre chose que les règles ordinaires du calcul auxquelles il faut ajouter l’axiome de continuité. Il n’y a pas longtemps, j’ai énuméré ces axiomes dans une courte Note[1] ; en même temps j’y ai remplacé l’axiome de la continuité par deux autres plus simples, à savoir :
- ↑ Jahresbericht der D. M. V., t. VIII, p. 180 ; 1900.
