l’ensemble de toutes les lois possibles suivant lesquelles peuvent procéder les éléments d’une série fondamentale : c’est plutôt un système d’êtres dont les relations mutuelles sont régies par les axiomes établis et pour lesquels sont vrais tous les faits, et ceux-là seuls, que l’on peut déduire de ces axiomes au moyen d’un nombre fini de déductions logiques. Ce n’est qu’en ce sens, selon moi, que la notion du continu est rigoureusement et logiquement concevable ; et il me semble effectivement que c’est ainsi que ce concept correspond le mieux à ce que nous donnent l’expérience et l’intuition. La notion du continu, et même celle de l’ensemble de toutes les fonctions, existe alors absolument au même sens qu’existe, par exemple, le système de tous les nombres rationnels, ou encore les classes de nombres et les puissances plus élevées de M. Cantor. Je suis, en effet, convaincu que l’existence de ces dernières conceptions, au sens que je viens d’indiquer, peut être tout aussi bien démontrée que l’existence du continu, tandis que c’est tout le contraire pour le système de toutes les puissances ou encore de tous les nombres aleph transfinis de M. Cantor, pour lequel on ne peut établir, au sens que j’ai indiqué, un système non contradictoire d’axiomes, et qui forment alors, par suite, une conception qui, suivant mon expression de tout à l’heure, n’a pas d’existence mathématique.
Dans le domaine des principes de la Géométrie, je citerai d’abord le problème suivant :
III. — De l’égalité en volume de deux tétraèdres de bases et de hauteurs égales.
Dans deux lettres adressées à Gerling, Gauss[1] exprime le regret que certains théorèmes de Stéréométrie dépendent de la méthode d’exhaustion ou, comme on dirait aujourd’hui, de l’axiome de continuité (ou de l’axiome d’Archimède). Gauss cite en particulier ce théorème d’Euclide, que deux pyramides triangulaires de
- ↑ Gauss, Werke, t. VIII, p. 241 et 244.
