même hauteur sont entre elles comme leurs bases. Le problème analogue relatif au plan est aujourd’hui complètement résolu[1]. Gerling[2] réussit à démontrer l’égalité des volumes de polyèdres symétriques en les décomposant en parties congruentes ; mais la démonstration, par ce moyen, du théorème précité d’Euclide dans le cas général, ne me semble guère possible. Il s’agirait donc alors d’une démonstration rigoureuse de l’impossibilité du problème. On serait immédiatement en possession d’une telle démonstration du moment que l’on pourrait assigner deux tétraèdres de bases et de hauteurs égales qu’il serait impossible de décomposer en tétraèdres congruents, et qui ne pourraient non plus, par l’addition de tétraèdres congruents, être transformés en polyèdres, eux-mêmes décomposables en tétraèdres congruents.
IV. — Problème de la ligne droite, plus court chemin d’un point à un autre.
C’est encore là un problème relatif aux principes fondamentaux de la Géométrie.
Si des axiomes nécessaires à l’édification de la Géométrie habituelle euclidienne, nous retranchons l’axiome des parallèles en supposant qu’il ne soit pas vérifié, mais que, au contraire, tous les autres le soient, nous obtenons, comme on le sait, la Géométrie (hyperbolique) de Lobatchefskij. En ce sens, nous pouvons dire que c’est une Géométrie qui se place à la suite de la Géométrie euclidienne. Si nous supposons, en outre, que l’axiome en vertu duquel de trois points d’une droite il en est toujours un et un seul
- ↑ Outre les auteurs antérieurs, consulter à ce sujet Hilbert, Grundlagen der Geometrie, Chap. IV, Leipzig ; Teubner, 1899. Comparer aussi une Note ajoutée au Chap. IV de la traduction de cet Ouvrage (Annales de l’École Normale, 3e série, t. XVII ; 1900) où M. Hilbert parle des travaux fondamentaux sur ce sujet de M. Gérard, professeur au lycée Charlemagne.
- ↑ Gauss, Werke, t. VIII, p. 242.
